最值問題

最不利構(gòu)造類

（一）題型特征

問法中出現(xiàn)“至少……保證……”或類似表述。

（二）解題思路

①找出最不利情況，即在題目所要“保證……”的要求不被實(shí)現(xiàn)的情況下，盡可能地取到最多；

②答案=最不利情況+1。

構(gòu)造數(shù)列類

（一）題型特征

題目中的總量一定，問法為“最多/少的……至多/少……”“排名第N的至多/少……”。

（二）解題思路

①排序定位：根據(jù)主體大小依次排序；

②反向構(gòu)造：要使某個(gè)值盡可能大，則其他的數(shù)應(yīng)盡可能小；反之，要使某個(gè)值盡可能小，則其他的數(shù)應(yīng)盡可能大；

③加和求解：總數(shù)一定，全部加和求解答案。

（三）注意事項(xiàng)

最后計(jì)算出來的結(jié)果是非整數(shù)時(shí)，不能四舍五入，需要結(jié)合題干的問法進(jìn)行判斷。若問最少，計(jì)算后應(yīng)該向上取整；若問最多，計(jì)算后應(yīng)該向下取整。比如：最后計(jì)算結(jié)果是7.5，若問最少，則結(jié)果應(yīng)該選8；若問最多，則結(jié)果應(yīng)該選7，這就是向上、向下取整的意思。

最值思維類

（一）題型特征

根據(jù)題干可列出不定方程（組），和為定值，問其中一部分最多/最少是多少。

（二）解題思路

①此消彼長(zhǎng)；

②找極端情況。

溶液?jiǎn)栴}

溶液混合類

（一）題型特征

溶液混合問題一般難度不大，且命題有一定套路性，常考的有兩溶液混合與三溶液混合。

（二）解題思路

①兩種溶液混合時(shí)，若已知混合前兩種溶液的濃度，用線段法（混合之前寫兩邊，混合之后寫中間；距離（濃度差）與量（溶液的重量）成反比，看好份數(shù)認(rèn)真算）；

②兩種溶液混合時(shí)，若不知混合前兩種溶液的濃度，用公式法(濃度=溶質(zhì)/溶液)；

③三種溶液混合時(shí)，建議用公式法。

溶質(zhì)不變類

（一）題型特征

當(dāng)濃度問題中出現(xiàn)某種溶液蒸發(fā)掉一部分水，或出現(xiàn)在溶液中加水，但溶質(zhì)的質(zhì)量不變，此時(shí)即為溶質(zhì)不變類濃度問題。

（二）解題思路

①?zèng)]有出現(xiàn)具體數(shù)值，設(shè)溶質(zhì)為一個(gè)不變量；

②利用溶質(zhì)不變建立等量關(guān)系，原來的溶質(zhì)=現(xiàn)在的溶質(zhì)。

溶液不變類

（一）題型特征

當(dāng)濃度問題中出現(xiàn)將某種濃度的溶液倒出一部分后再加滿水，來回反復(fù)保持溶液總量不變，或出現(xiàn)將兩種濃度不同的溶液相互倒出若干次，但每種溶液總量保持不變，此時(shí)即為溶液不變類濃度問題。

（二）解題思路

①濃度為r的溶液，倒出a%，再加滿水，濃度會(huì)變成r×（1-a%）；

②溶液不變，只分析溶質(zhì)變化即可。

計(jì)數(shù)問題

方陣問題

（一）題型特征

若干個(gè)主體排列成方陣，求主體的個(gè)數(shù)。

（二）解題思路

①正方形方陣邊長(zhǎng)為n，則最外層人數(shù)=4n-4；長(zhǎng)方形方陣長(zhǎng)邊為a，短邊為b，則最外層人數(shù)=2（a+b）-4；

②正方形方陣邊長(zhǎng)為n，則實(shí)心正方形方陣的總?cè)藬?shù)=；長(zhǎng)方形方陣長(zhǎng)邊為a，短邊為b，則實(shí)心長(zhǎng)方形方陣的總?cè)藬?shù)=a×b；

③相鄰兩層人數(shù)相差為8。此結(jié)論在空心方陣計(jì)算總?cè)藬?shù)時(shí)會(huì)用到。

方陣問題套路性強(qiáng)，掌握方法即可解題。計(jì)算總?cè)藬?shù)時(shí)，可理解為求四邊形的面積，正方形為，長(zhǎng)方形為a×b。另外，解題時(shí)若沒有明確說是空心方陣，則一般默認(rèn)為實(shí)心方陣。

植樹問題

（一）題型特征

在道路兩邊植樹或擺放物品、安裝路燈等，求種植棵數(shù)（擺放個(gè)數(shù)、安裝個(gè)數(shù)）。

（二）解題思路

求不移動(dòng)棵數(shù)時(shí)，若是兩端植樹，則=最大公約數(shù)+1；若是單端植樹，則=最大公約數(shù)；若是樓間植樹，則=最大公約數(shù)-1。